Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M﹣AC﹣B的大小为β，求sinαcosβ的值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结OM，在△PBD中， ∵O为AC的中点，M为PD的中点．∴OM∥PB，
∵OM平面ACM，PB平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角．
∵MN= PO= ，
在Rt△ADO中，∵DO= = ，AN= DO= ，
在Rt△AMN中，AM= = ，
∴sinα= ，（8分）
取AO的中点R，连结NR，MR，
∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，
由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M﹣AC﹣B的补角，即为π﹣β．
∵NR= ，MN= ，∴cos（π﹣β）=﹣cosβ= ，（11分）
∴sinαcosβ= =﹣ ．

【解析】（Ⅰ）连结OM，推导出OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，推导出∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角，从而求出sinα= ，取AO的中点R，连结NR，MR，则∠MRN为二面角M﹣AC﹣B的补角，即为π﹣β．从而得到cos（π﹣β）=﹣cosβ= ，由此能求出sinαcosβ．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．