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已知实数a<0,函数f(x)=ax(x-1)2+a+1(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有极大值-7,求实数a的值.
分析:(Ⅰ)求导函数,利用导数的正负,确定函数的单调区间;
(Ⅱ)根据函数的单调性,确定函数f(x)在x=1处取得极大值-7,从而可求实数a的值.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(x-1)2+a+1,∴f′(x)=a(3x2-4x+1).---(2分)
令f′(x)=0,
∵a<0,∴3x2-4x+1=0,即(3x-1)(x-1)=0,
∴x=
1
3
或x=1
当x∈(
1
3
,1)
时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(
1
3
,1)

当x∈(-∞,
1
3
)或x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)的单调递减区间为(-∞,
1
3
),(1,+∞).
(Ⅱ)∵x∈(-∞,
1
3
)时,f′(x)<0,x∈(
1
3
,1)
时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在x=1处取得极大值-7.
即a+1=-7,解得a=-8
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,利用导数的正负,确定函数的单调区间是关键.
练习册系列答案
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已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.

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已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值8.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求实数a的值.

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(2012•许昌县一模)已知实数a>0且函数f(x)=|x-2a|-|x+a|的值域为P={y|-3a2≤y≤3a2}.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若至少存在一个实数m,使得f(m)-f(1-m)≤n成立,求实数n的取值范围.

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已知实数a>0,函数f(x)=
1-x2
1+x2
+a
1+x2
1-x2

(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)当a=1时,判断f(x)的单调性,并说明理由;
(3)求实数a的范围,使得对于区间[-
2
5
5
2
5
5
]
上的任意三个实数r、s、t,都存在以f(r)、f(s)、f(t)为边长的三角形.

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