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已知函数f(x)=x2-2ax+b的图象关于直线x=1对称,且方程f(x)+2x=0有两个相等的实根.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)=x2-2ax+b在闭区间[0,3]上的最值.
考点:二次函数的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)由已知f(x)=x2-2ax+b的图象关于直线x=1对称,可得-
-2a
2
=1,从而a=1,根据方程f(x)-2x=0有两个相等的实根,可得△=0,从而可求b的值;
(2)求导函数f'(x)=2x-2,利用f'(x)<0得函数单调递减区间;f'(x)>0得f(x)的单调递增区间,结合定义域可求函数的最值.
解答: 解:(1)由已知f(x)=x2-2ax+b的图象关于直线x=1对称,可得-
-2a
2
=1,
∴a=1,
又方程f(x)-2x=0有两个相等的实根,可得△=(2a-2)2-4b=0,
∴b=0,
a=1
b=0

(2)由(1)知f(x)=x2-2x且f'(x)=2x-2可知,
当x∈[0,1]时,f'(x)<0所以f(x)单调递减;
当x∈[1,3]时,f'(x)>0所以f(x)单调递增   
因为f(0)=0,f(1)=-1,f(3)=3,
所以f(x)的最大值为3,f(x)最小值为-1.
注:也可以用二次函数的图象来求最值.
点评:本题以二次函数的性质为载体,考查二次函数解析式的求解,考查二次函数在指点区间上的最值问题,解题时应注意对称轴与区间的位置关系.
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4
x

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x
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4
x
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2
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π
4
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A、(
π
6
π
4
B、(
π
6
4
C、(
π
2
4
D、(π,
3

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(Ⅱ)是否存在直线l,使得kOA+kOB+kOC+kOD=3
2
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