Question

（理）已知圆（x+4）²+y²=25的圆心为M₁，圆（x-4）²+y²=1的圆心为M₂，一个动圆与这两个圆都外切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若经过点M₂的直线与（Ⅰ）中的轨迹C有两个交点A、B，求|AM₁|•|BM₁|的最小值．

Answer 1

解：（I）∵动圆M与这两个圆都外切，
∴|MM₁|-5=|MM₂|-1
即|MM₁|-|MM₂|=4，
∵|MM₁|-|MM₂|=4，4＜|M₁M₂|=8
∴动圆圆心M的轨迹是以M₁，M₂为焦点的双曲线的右支
由定义可得 c=4，a=2，b²=12
∴动圆圆心M的轨迹C的方程为（x≥2）
（II）∵M₂（4，1），
∴设经过点M₂的直线方程为x=ty+4
代入双曲线方程，并整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有△＞0，y₁+y₂=-，y₁y₂=
由y₁y₂＜0，得
而|AM₁|•|BM₁|=e（x₁+1）•e（x₂+1）=4（ty₁+5）（ty₂+5）
=4[t²（y₁y₂）+5t（y₁+y₂）+25]
=4[t²•+5t•（-）+25]
=-112×（1+）+100
∵-1≤3t²-1＜0
∴当3t²-1=-1时，即t=0时，|AM₁|•|BM₁|取得最小值100
分析：（I）利用定义法求动点M的轨迹方程，先利用圆与圆相切的几何条件，得到动点M满足的几何条件，再由曲线定义判断曲线形状，最后写出曲线的标准方程；（II）将经过点M₂的直线方程设为x=ty+4形式，代入（I）中的曲线，利用韦达定理和焦半径公式，将所求转化为关于t的函数，求其最小值即可
点评：本题考查了定义法求动点轨迹方程的方法，直线与双曲线的位置关系，韦达定理的应用及设而不求的解题技巧