Question

3．若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在直径为$\sqrt{61}$的球面上，且AB=3，AC=4，BC=5，点D是棱BB₁的中点，则AD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知AB⊥AC，从而矩形BCC₁B₁的对角线长即为球直径，进而CC₁=6，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在直径为$\sqrt{61}$的球面上，
且AB=3，AC=4，BC=5，点D是棱BB₁的中点，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
且BC为过底面ABC的截面圆的直径．
取BC中点E，则OE⊥底面ABC，则O在侧面BCC₁B₁内，
矩形BCC₁B₁的对角线长即为球直径，
∴$\sqrt{25+C{{C}_{1}}^{2}}=\sqrt{61}$，解得CC₁=6，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（3，0，3），B（3，0，0），B₁（3，0，6），C（0，4，0），
$\overrightarrow{AD}$=（3，0，3），$\overrightarrow{BC}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，6），
设平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=6z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
设AD与平面BCC₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{12}{\sqrt{18}•\sqrt{25}}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴AD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．