Question

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

Answer 1

分析：（1）先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C₁和C₂有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定；
（2）分别求出C₁和C₂有两条公切线段的中点坐标，发现两者相等，从而证明了相应的两条公切线段互相平分．

解答：解：（Ⅰ）函数y=x²+2x的导数y′=2x+2，
曲线C₁在点P（x₁，x₁²+2x₁）的切线方程是：
y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁），
即y=（2x₁+2）x-x₁²①
函数y=-x²+a的导数y′=-2x，
曲线C₂在点Q（x₂，-x₂²+a）的切线方程是
即y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）．
y=-2x₂x+x₂²+a．②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
x₁+1=-x₂，所以-x₁²=x₂²+a．
消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0．
若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，
即a=-

1

2

时解得x₁=-

1

2

，此时点P与Q重合．
即当a=-

1

2

时C₁和C₂有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为y=x-

1

4

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知．
当a＜-

1

2

时C₁和C₂有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
其中P在C₁上，Q在C₂上，则有x₁+x₂=-1，
y₁+y₂=x₁²+2x₁+（-x₂²+a）=x₁²+2x₁-（x₁+1）²+a=-1+a．
线段PQ的中点为(-

1

2

，

-1+a

2

)．
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是(-

1

2

，

-1+a

2

)
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．

点评：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．