Question

2．已知f（x）=$\frac{bx+1}{2x+a}$，a，b为实数，且ab≠2，若f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=k．
（1）求常数k的值．
（2）在（1）的条件下，若f（f（1））=$\frac{k}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别得到f（x）和f（$\frac{1}{x}$）的解析式，算出f（x）•f（$\frac{1}{x}$）化简后等于k，根据合分比性质得到k即可；
（2）先求出f（1）再求出f[f（1）]由已知它等于$\frac{k}{2}$，化简后利用合分比性质得到a与b的值即可．

解答 解：（1）由题可知：f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{bx+1}{2x+a}$•$\frac{\frac{b}{x}+1}{\frac{2}{x}+a}$=$\frac{b{x}^{2}+（{b}^{2}+1）x+b}{2a{x}^{2}+（{a}^{2}+4）x+2a}$=k
则根据合分比性质得：$\frac{b}{2a}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$=$\frac{b}{2a}$=k，即k=$\frac{1}{4}$；
（2）∵f（1）=$\frac{b+1}{a+2}$，
则若f[f（1）]=f[$\frac{b+1}{2+a}$]=$\frac{{b}^{2}+b+2+a}{2b+2+2a+{a}^{2}}$=$\frac{k}{2}$，
根据合分比性质得：$\frac{{b}^{2}}{2b}$=$\frac{b}{2}$=$\frac{2}{2a}$=$\frac{a}{{a}^{2}}$=$\frac{k}{2}$，
可得：a=$\frac{2}{k}$=8，b=k=$\frac{1}{4}$．

点评 此题考查学生理解函数的定义，以及合分比性质的灵活运用．