Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O'相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（I）AC•BD=AD•AB；
（II）AC=AE．

Answer 1

证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴=，
∴AC•BD=AD•AB．
（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴=，∴AE•BD=AD•AB．
再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
分析：（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，=，由此得到所证．
（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，=，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
点评：本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．