Question

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m²）表示每立方米空气中可入肺颗粒的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

甲、乙两城市2013年12月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行检测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（1）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优获良的概率；
（2）在甲城市15个检测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优获良的天数，求X的分布列及数学期望（用分数表示）．

Answer 1

分析：（1）根据古典概率的概率公式计算在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优获良的概率；
（2）根据排列组合的知识，即可求X的分布列及数学期望．

解答：解：（1）由茎叶图可知甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有9天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

9

15

=

3

5

，
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有6天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

6

15

=

2

5

，
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

3

5

×

2

5

=

6

25

．
（2）由题意知X的取值为0，1，2，
∴P（X=0）=

C 0 9 C 2 6

C 2 15

=

1

7

，P（X=1）=

C 1 9 C 1 6

C 2 15

=

18

35

，P（X=2）=

C 2 9

C 2 15

=

12

35

．
X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 7	18 35	12 35

数学期望EX=0×

1

7

+1×

18

35

+2×

9

35

=

36

35

．

点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及随机变量的分布列的求法．正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键．