Question

（2012•河北模拟）设函数f（x）=sin（

πx

3

-

π

6

）-2cos2

πx

6

．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

sin（

π

3

x-

π

3

）-1，由此求得f（x）的最小正周期，由 2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到单调递增区间．
（2）由题意可得本题即求当x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．由x∈[3，4]，可得

πx

3

-

π

3

的范围，进而得到 sin（

πx

3

-

π

3

）的范围，从而求得函数y=f（x）的最大值．

解答：解：（1）函数f（x）=sin（

πx

3

-

π

6

）-2cos2

πx

6

=

3

2

sin

π

3

x-

3

2

cos

π

3

x-1=

3

sin（

π

3

x-

π

3

）-1，
故f（x）的最小正周期为

2π

π 3

=6．
由 2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，
故单调递增区间为[6k-

1

2

，6k+

5

2

]，k∈z．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
故当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值，即为x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．
此时，

2π

3

≤

πx

3

-

π

3

≤π，0≤sin（

πx

3

-

π

3

）≤

3

2

，-1≤f（x）≤

1

2

，
故函数y=f（x）的最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，现了化归与转化的数学思想，属于中档题．