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中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2
13
,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3:7.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的方程;
(Ⅱ)若P为双曲线与椭圆的交点,求cos∠F1PF2
分析:(Ⅰ)根据半焦距c=
13
,设椭圆长半轴为a,由离心率之比求出a,进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长,写出椭圆和双曲线的标准方程.
(Ⅱ)由椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2的长,三角形F1PF2中,利用余弦定理求出 cos∠F1PF2 的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,半焦距c=
13
,设椭圆长半轴为a,则双曲线实半轴 a-4,
离心率之比为
3
7
=
13
a
13
a-4

∴a=7,
∴椭圆的短半轴等于
49-13
=6,
双曲线虚半轴的长为
13-9
=2,
∴椭圆和双曲线的方程分别为:
x2
49
+
y2
36
=1
x2
9
-
y2
4
=1

(Ⅱ)由椭圆的定义得:PF1 +PF2=2a=14,
由双曲线的定义得:PF1-PF2=±6,
∴PF1与PF2中,一个是10,另一个是 4,不妨令PF1=10,PF2=4,
又F1F2=2
13
,三角形F1PF2中,利用余弦定理得:(2
13
)
2
=100+16-80cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
4
5
点评:本题考查椭圆、双曲线标的定义应用和标准方程的求法,以及利用余弦定理解三角形.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆w的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为
6
3
,△ABC的顶点A,B在椭圆w上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.
(1)求椭圆w的方程;
(2)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(3)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,函数y=f(x)的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧,则不等式f(x)<f(-x)+x的解集为(  )
A、{x|-
2
<x<0或
2
<x≤2}
B、{x|-2≤x<-
2
2
<x≤2}
C、{x|-2≤x<-
2
2
2
2
<x≤2}
D、{x|-
2
<x<
2
,且x≠0}

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A、{
2
2
<x≤2
2
2
<x≤2
}
B、{x|-2≤x<
2
2
<x≤2}
C、{x|-
2
<x<0
2
<x≤2
}
D、{x|-
2
<x<
2
,且x≠0}

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科目:高中数学 来源:2010-2011年山西省孝义市高二第二次月考考试数学文卷 题型:解答题

(12分)

    已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,长轴长等于12,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过椭圆左顶点作直线l垂直于x轴,若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4,求点M的轨迹方程.

 

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科目:高中数学 来源:东城区模拟 题型:解答题

已知椭圆w的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为
6
3
,△ABC的顶点A,B在椭圆w上,C在直线l:y=x+2上,且ABl.
(1)求椭圆w的方程;
(2)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(3)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.

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