Question

12．已知椭圆N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线y=x+1被椭圆N截得的线段长为$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求椭圆N的方程．

Answer 1

分析 由于椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于a²=b²+c²．可得a²=4b²．椭圆的方程化为x²+4y²=4b²．与直线的方程联立，利用弦长公式即可得出．

解答 解：∵椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a²=b²+c²，
∴a²=4b²．
∴椭圆的方程化为x²+4y²=4b²．
设直线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线y=x+1与椭圆方程，化为5x²+8x+4-4b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=$\frac{4-4{b}^{2}}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{25}-4•\frac{4-4{b}^{2}}{5}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
化为b²=1．满足△＞0．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．