Question

（2012•安徽模拟）设函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（1）即得到线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率，最后由点斜式写出切线方程
（Ⅱ）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），f（x）≤g（x）对一切正数x都成立，即h（x）≤0对一切正数x都成立，即h（x）的最大值小于或等于零，从而将问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数求新函数的最值即可

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：当a=2时，g（x）=4x²-lnx+2
则g′(x)=8x-

1

x

曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率k=g'（1）=7，又g（1）=6
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线的方程为y-6=7（x-1）即y=7x-1
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．h′(x)=a+

1

x

-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

(x＞0)
令h'（x）=0可得：x2=-

1

2a

，x1=

1

a

（舍）
当0＜x＜-

1

2a

时，h'（x）＞0，h（x）单增；
当x＞-

1

2a

时，h'（x）＜0，h（x）单减．
所以h（x）在x=-

1

2a

处有极大值，也是最大值．∴h(x)max=h(-

1

2a

)≤0解得：a≤-

1

2

e-

3

4

所以负数a存在，它的取值范围为：a≤-

1

2

e-

3

4

点评：本题考察了导数的几何意义，导数在函数最值问题中的应用，不等式恒成立问题的一般解法，解题时要认真计算，不断总结