Question

6．证明函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞2，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂）即可得出f（x）在（2，+∞）上是增函数．

解答 证明：设x₁＞x₂＞2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞2；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（2，+∞）上是增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差之后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，不等式的性质．