分析 (1)连接BE,设BE∩OC=G,连接DG,推导出EF∥DG,从而DF=PF=$\frac{1}{4}PB$,由此得到点F是PB上靠近点P的四等分点.
(2)过点A作AD1⊥DO,则AD1⊥面COD,由此能求出直线AC与面COD所成角θ的正弦值.
解答 解:(1)连接BE,设BE∩OC=G,由题意G为△ABC的重心,
∴$\frac{BG}{GE}=2$,连接DG,
∵EF∥平面COD,EF?平面BEF,面BEF∩面COD=DG,
∴EF∥DG,
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{BG}{GE}=\frac{2}{1}$,
又BD=DP,∴DF=PF=$\frac{1}{4}PB$,
∴点F是PB上靠近点P的四等分点.
(2)$\left.\begin{array}{l}PB⊥CD\\ PB⊥OC\end{array}\right\}⇒PB⊥面OCD⇒PB⊥OD$,
由平面几何知识知$BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5},CA=\sqrt{2}$,
过点A作AD1⊥DO,垂足为D1,∴AD1⊥面COD,
由$△AO{D_1}≌△BOD⇒A{D_1}=BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,
又直线AC与面COD所成角θ,即$∠AC{D_1}•sinθ=sin∠AC{D_1}=\frac{{A{D_1}}}{AC}=\frac{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,
∴直线AC与面COD所成角θ的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.
点评 本题考查使得线面平行的点的确定与求法,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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