Question

15．在如图所示的圆锥中，PO是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB上一点，且PO=2，OB=1．
（1）若D为PB的中点，试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；
（2）若PB⊥CD，求直线AC与面COD所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BE，设BE∩OC=G，连接DG，推导出EF∥DG，从而DF=PF=$\frac{1}{4}PB$，由此得到点F是PB上靠近点P的四等分点．
（2）过点A作AD₁⊥DO，则AD₁⊥面COD，由此能求出直线AC与面COD所成角θ的正弦值．

解答 解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，
∴$\frac{BG}{GE}=2$，连接DG，
∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，面BEF∩面COD=DG，
∴EF∥DG，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{BG}{GE}=\frac{2}{1}$，
又BD=DP，∴DF=PF=$\frac{1}{4}PB$，
∴点F是PB上靠近点P的四等分点．
（2）$\left.\begin{array}{l}PB⊥CD\\ PB⊥OC\end{array}\right\}⇒PB⊥面OCD⇒PB⊥OD$，
由平面几何知识知$BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，CA=\sqrt{2}$，
过点A作AD₁⊥DO，垂足为D₁，∴AD₁⊥面COD，
由$△AO{D_1}≌△BOD⇒A{D_1}=BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
又直线AC与面COD所成角θ，即$∠AC{D_1}•sinθ=sin∠AC{D_1}=\frac{{A{D_1}}}{AC}=\frac{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴直线AC与面COD所成角θ的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查使得线面平行的点的确定与求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．