Question

【题目】已知，，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．

Ⅰ求点K的轨迹C的方程；

Ⅱ经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 经过定点.

【解析】

Ⅰ利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；Ⅱ设直线AM的方程为，代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标．

Ⅰ，

点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，

点K的轨迹方程为：，

Ⅱ设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，

联立可得，整理，可得，

则，则，代入，可得，

，

同理可得，

当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，

故直线MN的方程为，

令，可得，

此时直线MN经过点，

当M，N的横坐标相等时，有，解得，

此时点M，N的横坐标为，

此时直线MN经过点，

综上所述直线MN经过点