Question

圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦；
（1）当a=

3π

4

时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P₀平分时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P₀（-1，2），可表示出直线AB的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；
（2）因为弦AB被点P₀平分，先求出OP₀的斜率，然后根据垂径定理得到OP₀⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为-1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．

解答：解：（1）直线AB的斜率k=tan

3π

4

=-1，
∴直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

|-1|

2

=

2

2

∴弦长|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）∵P₀为AB的中点，OA=OB=r，
∴OP₀⊥AB
又kOP0=

2-0

-1-0

=-2，∴k_AB=

1

2

∴直线AB的方程为y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0

点评：考查学生会根据倾斜角求出直线的斜率，综合运用直线与圆方程的能力，会根据一个点和斜率写出直线的方程．