Question

1．已知a，b，c∈R⁺，求证：
（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc
（2）$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （1）将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可．
（2）利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c²=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2$\sqrt{a}$＞0，b+1≥2$\sqrt{b}$＞0，a+c≥2$\sqrt{ac}$＞0，b+c≥2$\sqrt{bc}$＞0，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2$\sqrt{a}$×2$\sqrt{b}$×2$\sqrt{ac}$×2$\sqrt{bc}$=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．
（2）∵a，b，c∈R⁺，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$≥3，$\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}$≥3，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}$≥6，
∴$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，（1）关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），属于中档题．