【题目】如图,四边形是正方形, 平面, , , , , 分别为, , 的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】试题分析: 建立平面直角坐标系,由, , 证得平面
建立空间直角坐标系,根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补,由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小;
⑶假设存在点,由共线向量基本定理得到点的坐标,其中含有一个未知量,然后利用直线与直线所成角为转化为两向量所成的角为,由两向量的夹角公式求出点的坐标,得到的点的坐标符合题意,说明假设成立,最后得到结论。
解析:(1)∵平面, ,∴ 平面,
∴, ,又四边形是正方形,
∴,故, , 两两垂直,
如图,建立空间直角坐标系,∵,
∴, , ,
, , ,
∵, , 分别为, , 的中点,
∴, , ,
,平面的一个法向量为,
又∵,
∴,又∵平面,∴ 平面.
(2), ,
设为平面的一个法向量,
则,即,取,得,
, ,
设为平面的一个法向量,则,
即,取得,
∴ ,
∴平面与平面所成锐二面角的大小为.
(3)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,
设,其中,由,则,
又∵, ,∴,
∵直线与直线所成角为, ,
∴,即,解得,
∴, ,
∴在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时.
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【题目】人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0-25(分贝),并规定测试值在区间为非常优秀,测试值在区间为优秀.某班50名同学都进行了听力测试,所得测试值制成频率分布直方图:
(Ⅰ)现从听力等级为的同学中任意抽取出4人,记听力非常优秀的同学人数为,求的分布列与数学期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试,测试规则如下:四个音叉的发生情况不同,由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列,被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号, , , (其中, , , 为1,2,3,4的一个排列).若为两次排序偏离程度的一种描述, ,求的概率.
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【题目】已知四棱锥﹣中,底面ABCD是矩形,⊥平面,,是的中点,是线段上的点.
(1)当是的中点时,求证:∥平面.
(2)当:= 2:1时,求二面角﹣﹣的余弦值.
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【题目】如图①,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点(端点除外),将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′(如图②).
(1)求证:A′D⊥EF;
(2)当点E,F分别为AB,BC的中点时,求直线A′E与直线BD所成角的余弦值.
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以(单位:盒, )表示这个开学季内的市场需求量, (单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数;
(2)将表示为的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于4000元的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,分别为左,右焦点,分别为左,右顶点,D为上顶点,原点到直线的距离为.设点在第一象限,纵坐标为t,且轴,连接交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)(文)若三角形的面积等于四边形的面积,求直线的方程;
(理)求过点的圆方程(结果用t表示)
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【题目】(1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程;
(2)已知双曲线两个焦点的坐标分别是(0,-6),(0,6),并且经过点(2,-5),求它的标准方程.
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【题目】已知曲线C1:ρ=1,曲线C2:(t为参数)
(1)求C1与C2交点的坐标;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′与C2′,写出C1′与C2′的参数方程,C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同,说明你的理由.
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