Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，等比数列{b_n}满足b₁=1，b₄=8，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得，利用a_n与S_n的关系求出{a_n}的通项公式，单独求出n=1时a₁的值，验证其是否满足通项公式，即可求出{a_n}的通项公式；利用等比数列的性质将{b_n}的公比求出，即可求出其通项公式；
（2）由（1）中求出的{a_n}和{b_n}的通项公式代入新数列中，写出新数列的通项公式，利用错位相减法求出其前n项和T_n．

解答 解：由题意得：
（1）因为S_n=2n²+n①，所以S_n-1=2（n-1）²+（n-1）②，
所以①-②得：a_n=S_n-S_n-1=4n-1（n≥2）；
当n=1时，a₁=S₁=3；
所以a_n=4n-1，n∈N^*，
又因为等比数列{b_n}满足b₁=1，b₄=8，n∈N^*，
所以${q}^{3}=\frac{{b}_{4}}{{b}_{1}}$=8，
所以q=2，
所以b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知a_n•b_n=（4n-1）2^n-1，
所以T_n=3+7×2¹+11×2²+…+（4n-5）×2^n-2+（4n-1）×2^n-1①，
2T_n=3×2+7×2²+11×2³+…+（4n-5）×2^n-1+（4n-1）×2ⁿ②，
所以①-②得：-T_n=3+4×2+4×2²+4×2³+…+4×2^n-1-（4n-1）×2ⁿ②，
T_n=5+（4n-5）×2ⁿ．

点评 （1）本题难度中档，解题关键在于对a_n=S_n-S_n-1的关系熟练掌握，以及等比数列相关知识点的掌握；（2）难度中上，解题关键在于对错位相减法求数列前n项和的方法的掌握和应用．