Question

12．如图，一个正三棱柱的左视图是边长为$\sqrt{3}$的正方形，则它的外接球的表面积等于（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{25π}{3}$
• C． 9π
• D． $\frac{28π}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得：正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．设球心为O，半径为R，△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．在△OAG中由勾股定理得：R²=$\frac{25}{12}$．进而得到答案

解答 解：因为正三棱柱ABC-DEF的正视图是边长为$\sqrt{3}$的正方形，
所以正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．
设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
GA是正三角形ABC的高的$\frac{2}{3}$，
所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=$\frac{25}{12}$．
∴球的表面积为4πR²=$\frac{25π}{3}$．
故选：B

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义，在球的内接多面体中一般容易出现直角三角形，进而利用勾股定理解决问题即可．