Question

15．已知椭圆C的中心在坐标原点且经过点A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程并求其离心率；
（2）斜率为1的直线l交椭圆于P，Q两点，M是直线l与x轴的交点，且有$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设：椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．根据椭圆经过点A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1），可得a，b，c．即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=x-m，则M（m，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立可得：3x²-4mx+2m²-2=0，△＞0，解得m范围．利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，即可解出m．

解答 解：（1）由题意可设：椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵椭圆经过点A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1），
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）设直线l的方程为：y=x-m，则M（m，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：3x²-4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得m²＜3．
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．（*）
∵$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，
∴m-x₁=$\frac{1}{3}（{x}_{2}-m）$，
与（*）联立解得：m²=1，解得m=±1，满足△＞0．
∴直线l的方程为y=x±1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．