Question

如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据三角形的面积公式及椭圆的定义列出关于椭圆的三个参数a，b，c的关系，再加上a，b，c本身的关系，通过解方程求出a，b，c，写出椭圆的方程．
（II）假设存在满足条件的点p，设出其坐标，根据两点式写出直线PF₁，PF₂的方程，根据圆的切线满足圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出有关点p的坐标的方程，再利用点p的坐标满足椭圆的方程，解方程组求得点p的坐标．

解答：解：（Ⅰ） 由题意知：

1

2

×2c×b=4即bc=4
又4a=8

2

即a=2

2

，
∵a²=b²+c²
解得 b=c=2
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点P（x₀，y₀），使得直线PF₁，PF₂与以Q为圆心的圆相切，
则Q到直线PF₁，PF₂的距离相等，
∵F₁（-2，0），F₂（2，0）
∴PF₂：（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0； PF₁：（x₀+2）y-y₀x-2y₀=0
d1=

|y0|

(x0-2)2+y02

=

|3y0|

(x0+2)2+y02

=d2
化简整理得：8x₀²-40x₀+32+8y₀²=0
∵点在椭圆上，
∴x₀²+2y₀²=8
解得：x₀=2或 x₀=8（舍）   
x₀=2时，y0=±

2

，r=1，
∴椭圆上存在点P，其坐标为(2，

2

)或(2，-

2

)，
使得直线PF₁，PF₂与以Q为圆心的圆（x-1）²+y²=1相切

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，要注意椭圆的三个参数的关系为：a²=b²+c²；解决是否存在性问题，一般先假设存在，然后利用已知条件求，若求出即存在，求不出，说明不存在．