Question

【题目】给定函数，若存在实数对，使得对定义域内的所有，恒成立，则称为“函数”.

（1）判断函数，是不是“函数”；

（2）若是一个“函数”，求所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数为“函数”,且存在满足条件的有序实数对，当时,函数的值域为，求当时, 函数的值域

Answer 1

【答案】是,理由见解析;;

【解析】

分别假设函数，是“函数”，列出方程对任意恒成立即可;

根据题中的定义,列出方程对任意恒成立,通过整理化简,令未知数的系数和常数项的对应相等求出满足条件的有序实数对即可;

根据题中的定义,列出两个恒等式成立,将用替换,两等式结合得到函数值的递推关系,用不完全归纳法求出值域.

函数，是“函数”,理由如下:

对于函数,因为,

所以要使对定义域内的所有，恒成立,只需实数对满足即可,这样的实数对有无数对,故函数是“函数”;

对于函数,因为对任意恒成立,

所以要使对定义域内的所有，恒成立,只需实数对满足即可, 这样的实数对有无数对,故函数是“函数”.

因为是一个“函数”,

所以对于任意恒成立,

因为,

所以对于任意恒成立,解得,

所以所求的有序实数对为.

由题意知, ,

因为,

即有,当时,,

因为函数的值域为,,

所以的值域为,即时,,

因为所以,

所以时,；时,，

依次类推,时,,

所以时,,

即有时,,

又因为,所以时,，

综上可知, 当时, 函数的值域为.