【题目】给定函数,若存在实数对,使得对定义域内的所有,恒成立,则称为“函数”.
(1)判断函数,是不是“函数”;
(2)若是一个“函数”,求所有满足条件的有序实数对;
(3)若定义域为的函数为“函数”,且存在满足条件的有序实数对,当时,函数的值域为,求当时, 函数的值域
【答案】是,理由见解析;;
【解析】
分别假设函数,是“函数”,列出方程对任意恒成立即可;
根据题中的定义,列出方程对任意恒成立,通过整理化简,令未知数的系数和常数项的对应相等求出满足条件的有序实数对即可;
根据题中的定义,列出两个恒等式成立,将用替换,两等式结合得到函数值的递推关系,用不完全归纳法求出值域.
函数,是“函数”,理由如下:
对于函数,因为,
所以要使对定义域内的所有,恒成立,只需实数对满足即可,这样的实数对有无数对,故函数是“函数”;
对于函数,因为对任意恒成立,
所以要使对定义域内的所有,恒成立,只需实数对满足即可, 这样的实数对有无数对,故函数是“函数”.
因为是一个“函数”,
所以对于任意恒成立,
因为,
所以对于任意恒成立,解得,
所以所求的有序实数对为.
由题意知, ,
因为,
即有,当时,,
因为函数的值域为,,
所以的值域为,即时,,
因为所以,
所以时,;时,,
依次类推,时,,
所以时,,
即有时,,
又因为,所以时,,
综上可知, 当时, 函数的值域为.
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就是越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了 某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定, ,记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求的分布列与数学期望;(数学期望值保留到个位数字)
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.
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【题目】在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于Grace年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有______种.(以数字作答)
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【题目】已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知极点与直角坐标系原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为为参数.
若,直线l与x轴的交点为M,N是圆C上一动点,求的最小值;
若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径,求a的值.
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【题目】欧拉公式(为虚数单位,,为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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【题目】为了研究某种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12,16,24.根据实验数据,用y表示第天的群落单位数量,某研究员提出了两种函数模型;①;②,其中a,b,c,p,q,r都是常数.
(1)根据实验数据,分别求出这两种函数模型的解析式;
(2)若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72,请从这两个函数模型中选出更合适的一个,并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000.
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