Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）赋值，令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值；
（2）方法同（1）赋值求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系．得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明；
（3）由题设条件f（4）=1与函数的恒等式，将f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再由f（x）在（0，+∞）上是增函数与f（x）是偶函数的性质将此抽象不等式转化为一元二次不等式，求解x的范围．

解答：（1）解：令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组

(3x+1)(2x-6)＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

或

(3x+1)(2x-6)＜0 -(3x+1)(2x-6)≤64

或

x＞3或x＜- 1 3 - 7 3 ≤x≤5

或

- 1 3 ＜x＜3 x∈R.

∴3＜x≤5或-

7

3

≤x＜-

1

3

或-

1

3

＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|-

7

3

≤x＜-

1

3

或-

1

3

＜x＜3或3＜x≤5}．

点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f”．解决办法：利用函数的单调性．
（2）无法得到另一个不等式．解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．