Question

如图，△ABC为正三角形，EB⊥平面ABC，AD∥BE，且BE=AB=2AD，P是EC的中点．
求证：（1）PD∥平面ABC；
（2）EC⊥平面PBD．

Answer 1

证明：（1）取BC的中点Q，连接PQ，AQ．
∵P是EC的中点，∴PQ∥BE，PQ=BE．
∵BE=AB=2AD．AD∥BE∴PQ∥AD，PQ=AD．
∴四边形PQAD是平行四边形，∴PD∥AQ，
又∵PD在平面PQAD外，AQ在平面PQAD内，
∴PD∥平面ABC．
（2）∵BE=AB．△ABC为正三角形，∴BE=BC．
∵P是EC的中点，∴PB⊥EC．
∵EB⊥平面ABC，EB?平面EBC，∴平面EBC⊥平面ABC，
∵Q是BC的中点，△ABC为正三角形，∴AQ⊥BC．
∵平面EBC∩平面ABC=BC，AQ?平面BAC，∴AQ⊥平面EBC．
∵EC?平面EBC，∴AQ⊥EC，∵PD∥AQ，∴PD⊥EC．
∵PB、PD?平面PBD，PB∩PD=P．∴EC⊥平面PBD．
分析：（1）取BC的中点Q，连接PQ，AQ，通过证明四边形PQAD是平行四边形，说明PD∥AQ，即可证明PD∥平面ABC．
（2）通过证明PB⊥EC，PD⊥EC．说明PB∩PD=P，即可证明EC⊥平面PBD．
点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，直线与平面垂直的证明，考查空间想象能力，基本定理的应用．