Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=1-b_n
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）在{a_n}中是否存在使得

1

an+25

是{b_n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可知b₁=

1

2

，b_n=b_n-1-b_n，故{b_n}为首项和公比均为

1

2

的等比数列，由此能够求出{b_n}的通项公式；
（2）设{a_n}中第m项a_m满足题意，即

1

am+25

=(

1

2

)n，从而可得m=2^n-1-12，由此可得结论．

解答：解：（1）当n=1时，∵b₁=T₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

…（2分）
当n≥2时，∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
两式相减得：b_n=b_n-1-b_n，即：b_n=

1

2

b_n-1…（6分）
故{b_n}为首项和公比均为

1

2

的等比数列，
∴b_n=(

1

2

)n …（8分）
（2）设{a_n}中第m项a_m满足题意，即

1

am+25

=(

1

2

)n，即2m-1+25=2ⁿ
所以m=2^n-1-12（m∈N^*，n∈N^*），取n=5，则m=4，a₄=7（其它形如m=2^n-1-12（m∈N^*，n∈N^*）的数均可）…（12分）

点评：本题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．