Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F分别为AD，PC的中点．求证：

（1）AP∥平面BEF；

（2）平面BEF⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）设，连接，通过中位线证明来证明平面.（2）证明四边形为菱形，得到，利用得到，由此证得平面，从而证得平面平面.

证明：

(1)设AC交BE于点O，连接OF，连接CE．

因为AE＝BC＝1，AD∥BC，所以四边形ABCE为平行四边形．

所以点O为AC的中点，又因为点F为PC的中点．所以OF∥AP．

又因为OF平面BEF，AP平面BEF所以AP∥平面BEF

(2)因为AD∥BC，ED＝BC＝1，所以四边形BCDE为平行四边形．所以BE∥CD．

因为AP⊥CD，所以AP⊥BE．又因为四边形ABCE为平行四边形，AB＝BC，

所以四边形ABCE为菱形．所以AC⊥BE．

又因为AP⊥BE，AP∩AC＝A，AP平面APC，AC平面APC．

所以BE⊥平面APC．

因为BE平面BEF．所以平面BEF⊥平面PAC．