Question

已知曲线C?x²-y²=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为

2

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）将直线与双曲线联立，利用l与C左支交于两个不同的交点，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k的取值范围；
（2）利用韦达定理，结合△AOB的面积为

2

，可建立k的方程，从而可求实数k的值．

解答：解：（1）由

x2-y2=1 y=kx-1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵l与C左支交于两个不同的交点
∴

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0

且 x₁+x₂=-

2k

1-k2

＜0，x₁x₂=-

2

1-k2

＞0
∴k的取值范围为 （-

2

，-1）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（1）得 x₁+x₂=-

2k

1-k2

，x₁x₂=-

2

1-k2

．
又l过点D（0，-1），
∴S_△OAB=

1

2

|x₁-x₂|=

2

．
∴（x₁-x₂）²=（2

2

）²，即（-

2k

1-k2

）²+

8

1-k2

=8．
∴k=0或k=±

6

2

．

点评：本题重点考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，综合性强．