Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1．
（1）求当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的值域；
（2）若对任意$x∈[0，\frac{π}{2}]$和任意$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，$k•\sqrt{1+sin2α}-sin2α≤f（x）+1$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．
（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，求出k的取值范围

解答 解：由已知f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=2（cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx）+1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2；
所以（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，所以f（x）的值域[1，4]；
（2）对任意$x∈[0，\frac{π}{2}]$和任意$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，$k•\sqrt{1+sin2α}-sin2α≤f（x）+1$恒成立，
即k|sinα+cosα|-sin2α≤f（x）+1恒成立，又f（x）+1的最小值为2，
所以只要k|sinα+cosα|≤2+sin2α，
所以k≤|sinα+cosα|+$\frac{1}{|sinα+cosα|}$，又$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，
所以|sinα+cosα|∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$]，
|sinα+cosα|+$\frac{1}{|sinα+cosα|}$∈[$\frac{5\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
所以k≤$\frac{5\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的值域，恒成立问题的应用，属于中档题．