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函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图象如图所示,则m,n的值可能是( )
A.m=1,n=1
B.m=1,n=2
C.m=2,n=1
D.m=3,n=1
【答案】分析:由图得,原函数的极大值点小于0.5.把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案.
解答:解:由于本题是选择题,可以用代入法来作,
由图得,原函数的极大值点小于0.5.
当m=1,n=1时,f(x)=ax(1-x)=-a+.在x=处有最值,故A错;
当m=1,n=2时,f(x)=axm(1-x)n=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x),所以f'(x)=a(3x-1)(x-1),令f'(x)=0⇒x=,x=1,即函数在x=处有最值,故B对;
当m=2,n=1时,f(x)=axm(1-x)n=ax2(1-x)=a(x2-x3),有f'(x)=a(2x-3x2)=ax(2-3x),令f'(x)=0⇒x=0,x=,即函数在x=处有最值,故C错;
当m=3,n=1时,f(x)=axm(1-x)n=ax3(1-x)=a(x3-x4),有f'(x)=ax2(3-4x),令f'(x)=0,⇒x=0,x=,即函数在x=处有最值,故D错.
故选 B.
点评:本题主要考查函数的最值(极值)点与导函数之间的关系.在利用导函数来研究函数的极值时,分三步①求导函数,②求导函数为0的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数取极大值;若左负右正,原函数取极小值.本本题考查利用极值求对应变量的值.可导函数的极值点一定是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.
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