Question

若对任意x∈R，y∈R有唯一确定的f （x，y）与之对应，则称f （x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：同时满足下列性质的二元函数f （x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（Ⅰ）非负性：f （x，y）≥0；
（Ⅱ）对称性：f （x，y）=f （y，x）；
（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）对任意的实数z均成立．
给出下列二元函数：
①f （x，y）=（x-y）²；
②f （x，y）=|x-y|；
③f （x，y）=

x-y

；
④f （x，y）=|sin（x-y）|．
则其中能够成为关于x，y的广义“距离”的函数编号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：③中的函数不满足（Ⅱ）对称性，①中的函数不满足（Ⅲ），故①③不能够成为关于x，y的广义“距离”的函数．
而②④中的函数都能同时满足（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），故能够成为关于x，y的广义“距离”的函数．

解答：解：对于②④中的函数，满足（Ⅰ）和（Ⅱ）和（Ⅲ），能够成为关于x，y的广义“距离”的函数．
对于①中的函数，由于不满足（Ⅲ），不能够成为关于x，y的广义“距离”的函数．
对于③中的函数，因为不满足（Ⅱ）对称性，不能够成为关于x，y的广义“距离”的函数．
故答案为：②④．

点评：本题考查新定义关于x，y的广义“距离”的函数，关键是检验（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）对任意的实数z均成立．