Question

已知向量

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算将f（x）化简为f（x）=sin2x-cos2x，从而可求f(-

π

4

)的值；
（2）利用f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，从而可求其最大值和最小值及求出相应的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+1=2sinxcosx-2cos²x+1
=sin2x-cos2x，…（4分）
则f(-

π

4

)=-1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．…（7分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．…（9分）
则当2x-

π

4

=

π

2

时，即x=

3π

8

时，f（x）的最大值是

2

；         …（11分）
当2x-

π

4

=-

π

4

时，即x=0时，f（x）的最小值是-1．…（13分）

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查三角函数的最值，属于中档题．