Question

8．已知函数f（x）=log_ax，a＞0，a≠1．
（1）若复数z=（a+2i）（1+i）（i为虚数单位）是纯虚数，求方程f（x）=-2的根；
（2）若f（x）=log_ax在区间[1，2]上有最大值1，求不等式f（x-1）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据复数z=（a+2i）（1+i）（i为虚数单位）是纯虚数，可得a=2，结合对数的定义，可得答案；
（2）若f（x）=log_ax在区间[1，2]上有最大值1，可得a=2，结合对数函数的单调性解不等式，可得答案；

解答 解：（1）复数z=（a+2i）（1+i）=（a-2）+（a+2）i…（2分）
因为复数z是纯虚数
所以a-2=0，a+2≠0，即a=2…（3分）
所以方程f（x）=-2可化为log₂x=-2…（4分）
即x=2^-2=$\frac{1}{4}$，
故方程的根为x=$\frac{1}{4}$…（5分）
（2）因为f（x）=log_ax在区间[1，2]上是单调函数，且f（1）=log_a1=0≠1，…（6分）
故f（2）=log_a2=1，
从而a=2…（8分）
所以原不等式为log₂（x-1）＞0，可化为log₂（x-1）＞log₂1…（9分）
即x-1＞1，故x＞2…（11分）
所以原不等式解集为（2，+∞）…（12分）

点评 本题考查的知识点是复数的分类，对数的定义，最值及其几何意义，对数函数的单调性，难度中档．