Question

某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘．根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b（万条）．
（I）设第n年年初该鱼塘的鱼总量为a_n（年初已放入新鱼b（万条），2010年为第一年），求a₁及a_n+1与a_n间的关系；
（Ⅱ）当b=10时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）．

Answer 1

分析：（I）由题意知2010年初该鱼塘的鱼总量为a1=10×(1-

1

2

)+b=5+b，然后根据此规律得到an+1=

1

2

an+b(n∈N*)；
（Ⅱ）把b=10代入得到{a_n-20}是首项为-5，公比为

1

2

的等比数列，即可得到a_n的通项公式，令a_n＞19.5，解出n的值，然后从2010算出第几年无效即可．

解答：解：（I）依题意，a1=10×(1-

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2

)+b=5+b，
an+1=

1

2

an+b(n∈N*)
（Ⅱ）当b=10时，an+1=

1

2

an+10，?an+1-20=

1

2

(an-20)，
所以{a_n-20}是首项为-5，公比为

1

2

的等比数列．
故an-20=-5×(

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)n-1，
得an=20-5×(

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2

)n-1=20-10×(

1

2

)n
若第n年初无效，则20-10×(

1

2

)n＞19.5?2ⁿ＞20?n≥5．
所以n≥5，则第5年初开始无效．
即2014年初开始无效．

点评：考查学生利用数列解决实际问题的能力，以及会找等比关系，会求等比数列的通项公式．