Question

已知点A（-1，m）在抛物线C：y²=4x的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，若直线BF的斜率为

4

3

，则m=（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  2

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线的方程设切点B的坐标是（

y02

4

，y₀），并求出焦点F的坐标，由条件和斜率公式求出y₀的值，再求出B的坐标，由点斜式方程设出切线的方程，联立抛物线的方程消去x后，由相切的条件：△=0求出斜率k的值，再求出切线方程，把点A的坐标代入求出m的值．

解答： 解：由题意设切点B的坐标是（

y02

4

，y₀），且y₀＞0，
因为抛物线C：y²=4x的焦点F是（1，0），且直线BF的斜率为

4

3

，
所以

y0-0

y02 4 -1

=

4

3

，化简得y02-3y0-4=0，
解得y₀=4或y₀=-1（舍去），
则B点的坐标是（4，4），
设过点A的切线方程是y-4=k（x-4），即y=kx-4k+4，
由

y=kx-4k+4 y2=4x

得，

k

4

y2-y-4k+4=0，
所以△=1-4×

k

4

×(-4k+4)=0，
化简得4k²-4k+1=0，解得k=

1

2

，
代入切线方程y=kx-4k+4得，y=

1

2

x+2，
把点A（-1，m）代入y=

1

2

x+2，解得m=

3

2

，
故选：D．

点评：本题考查抛物线的简单性质，直线的点斜式方程、斜率公式，以及直线与圆锥曲线的关系．