Question

A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED²=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

Answer 1

分析：A．由弦切角定理，得∠CAE=∠CBA，结合AD是∠BAC的平分线和三角形的外角定理，得EA=ED．最后根据切割线定理结合等量代换，得ED²=EB•EC．
B．根据公式列出f（λ）=0，可解出两个特征值λ₁=7，λ₂=-2．再结合条件，列出特征向量满足的方程组，将解出的x、y值变成列矩阵，即可得到属于这两个特征值特征向量．
C．将直线l与曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，联解可得交点分别为A（1，-2）和B（9，6），最后用平面内两点之间的距离公式，可算出线段AB的长．
D．以x-1和y-2为基本量，利用绝对值三角不等式可得|x-y+1|≤|x-1|+|y-2|，结合已知条件不难得到|x-y+1|的最大值．

解答：解：A．∵EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，∴∠CAE=∠CBA．
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
∴△EAD是等腰三角形，得EA=ED．
又∵EA²=EC•EB，∴ED²=EB•EC．
B．由题意，得f（λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ²-5λ-14=（λ-7）（λ+2）
由f（λ）=0，得λ₁=7，λ₂=-2
根据

(7+1)x-4y=0 -2x+(7-6)y=0

，可得

x=1 y=2

，所以属于λ₁=7的一个特征向量为

1   2

根据

(-2+1)x-4y=0 -2x+(-2-6)y=0

，可得

x=4 y=-1

，所以属于λ₂=-2的一个特征向量为

4   -1

C、ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

化简，得ρcosθ-ρsinθ=3
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程为x-y-3=0
同理，抛物线ρsin²θ=4cosθ化成直角坐标方程y²=4x
将直线方程与抛物线方程联解，得

x=1 y=-2

或

x=9 y=6

∴直线与抛物线交于点A（1，-2）和B（9，6）
由两点的距离公式，得线段AB的长为

(1-9)2+(-2-6)2

=8

2

D、∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，
∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2，
故|x-y+1|的最大值为2，当且仅当 x=2，y=3，或x=0，y=1时取等号．

点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程、特征值与特征向量的计算、与圆有关的比例线段和绝对值三角不等式等知识，考查了同学们对理科选修知识的掌握，属于中档题．