Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x²；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）画出其大致图象并指出其单调区间．
（3）若函数g（x）=f（x）+k-1有三个零点，求K的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（x）是定义在R上的奇函数，先设x＜0时，则-x＞0，结合题意得到f（-x）=-（-x）²+2（-x），然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．
（2）先画出当x≥0时，的函数图象，结合奇函数图象关于原点对称可画出x＜0时的函数图象即可
（3）结合函数的图象进行判断
解答：（1）解：当x＜0时，则-x＞0，
因为当x≥0时，f（x）=-x²+2x
所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
所以-f（x）=-x²-2x
∴f（x）=x²+2x，x＜0
∴…（4分）
（2）图象如图
其单调递增区间[-1，1]，单调递减区间（-∞，-1），（1，+∞）…（9分）
（3）∵g（x）=f（x）+k-1有三个零点
即f（x）与y=1-k有三个交点（0，2），结合（2）中函数的图象可得-1＜1-k＜1
∴0＜k＜2（13分）
点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，及利用函数的图象求解函数的单调区间及方程的零点与函数的图象的交点个数的相互关系的转化