Question

如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于A、B两点，Q为A、B中点，
（1）求抛物线的焦点坐标及准线l方程；　
（2）若α≠，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|AB|=2|PF|．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的方程是y²=4x，
∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程是x=-1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
根据抛物线的定义，可得|AF|=x₁+，|BF|=x₂+，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2
∵Q为A、B中点，
∴x₁+x₂=2x₀，且y₁+y₂=2y₀．因此可得|AB|=2x₀+2
∵A、B两点在抛物线y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，且y₂²=4x₂，两式相减，再分解得：
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直线AB的斜率为，
因此，中垂线斜率满足，所以
∴直线m的方程为
令y=0，得P点横坐标为：x_p=x₀+2
所以|PF|=x_p-1=x₀+2-1=x₀+1
∴|AB|=2（x₀+1）=2|PF|
分析：（1）抛物线的方程是y²=4x，可得=1，从而得到抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），先根据抛物线的定义，推出|AB|=x₁+x₂+2，再由Q为A、B中点，结合中点坐标公式可得|AB|=2x₀+2．接下来求直线m的方程：运用点A、B的坐标代入抛物线方程，再作差，化简得到直线AB的斜率为，利用垂直直线斜率的关系，得到中垂线斜率为，所以直线m的方程为y-y₀=．最后根据m方程得到点P的横坐标为x₀+2，得到|PF|=x_p-1=x₀+1，从而证出|AB|=2|PF|．
点评：本题给出抛物线的焦点弦的中垂线，要求我们证明一个恒等式，着重考查了抛物线的定义和简单性质，以及直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．