Question

14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且sinC=2sinAcosB，则△ABC是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，可得C=$\frac{π}{3}$．再根据诱导公式可得sin（A+B）=2sinAcosB，再利用两角和差的正弦公式求得sin（A-B）=0，可得A=B=$\frac{π}{3}$，从而得出结论．

解答 解：△ABC中，由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
由sinC=2sinAsinB，可得sin（A+B）=2sinAsinB，即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
即sin（A-B）=0．
再根据-π＜A-B＜π，可得A-B=0，∴A=B=$\frac{π}{3}$，故△ABC是等边三角形，
故选：A．

点评 本题主要考查余弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．