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已知向量
m
=(sinA,cosA),
n
=(
3
,-1),(
m
-
n
)⊥
m
,且A为锐角.
(Ⅰ) 求角A的大小;
(Ⅱ) 求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
分析:(Ⅰ)由题意得,利用两个向量的数量积的定义以及两个向量垂直的性质可得可得(
m
-
n
)•
m
=0,解得
sin(A-
π
6
) 的值,再由A为锐角求得A的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA=
1
2
,化简f(x)=
3
2
-2(sinx-
1
2
)
2
,由sinx∈[-1,1],利用二次函数的性质求得
f(x)的最大值和最小值,即可求得所求函数f(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)由题意得,向量
m
=(sinA,cosA),
n
=(
3
,-1),可得
m
n
=
3
sinA-cosA,
再由(
m
-
n
)⊥
m
,可得(
m
-
n
)•
m
=
m
2
-
m
n
=1-
3
sinA+cosA=2sin(A-
π
6
)-1=0,
解得 sin(A-
π
6
)=
1
2

再由A为锐角得 A-
π
6
=
π
6
,故有A=
π
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA=
1
2
,所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=
3
2
-2(sinx-
1
2
)
2

因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],因此,当sinx=
1
2
时,f(x)有最大值
3
2

当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是[-3,
3
2
].
点评:本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量垂直的性质,三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角
函数的单调性,二次函数的性质应用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinθ,2cosθ),
n
=(
3
,-
1
2

(Ⅰ)当θ∈[0,π]时,求函数f(θ)=
m
×
n
的值域;
(Ⅱ)若
m
n
,求sin2θ的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sin(A-B),sin(
π
2
-A)
),
n
=(1,2sinB),且
m
n
=-sin2C,其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA+sinB=
3
2
sinC
,且S△ABC=
3
,求边c的长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,
3
cosωx)且0<ω<2,函数f(x)=m•n,且f(
π
3
)=
3
2

(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=g(x)的图象向右平移
π
3
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
4
,得到函数y=f(x)的图象,求函数g(x)的解析式及其在[-
π
3
π
3
]上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinωx,1),
n
=(
3
Acos
ωx,
A
2
cos2
ωx)(A>0,ω>0),函数f(x)=
m
n
的最大值为3,且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)将函数y=f(x)的图象向左平移
π
6
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.
(1)求函数g(x)的单调递减区间;
(2)求函数g(x)在[
π
4
π
2
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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