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已知函数 $数学公式$
（1）当a=0时，求f（x）在 $数学公式$ 处切线的斜率；
（2）当 $数学公式$ 时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+3当 $数学公式$ 时，若对于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

解：（1）∵a=0，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
则f（x）在 $\text{[math]}$ 处切线的斜率 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）， $\text{[math]}$
①当a=0时， $\text{[math]}$ ，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（6分）
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解得x₁=1或 $\text{[math]}$ 且x₁＜x₂
列表

x	（0，1）	1	（1， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

由表可知函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为 $\text{[math]}$ ，单调递减区间为 $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…（10分）
（3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，2），
∴f（x）的最小值为 $\text{[math]}$
原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值 $\text{[math]}$ ，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①当b＜1时，g（x）的最小值为g（1）=4-2b＞2，不合；
②当b∈[1，2]时，g（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；
③当b∈（2，+∞）时，g（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，解得b＞2，
综上，b的取值范围 $\text{[math]}$ ． …（14分）
分析：（1）求导函数，令 $\text{[math]}$ ，即可求得切线的斜率；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（3）原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值 $\text{[math]}$ ，由此可求实数b的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查切线的斜率，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

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