Question

已知向量=（cosx+sinx，cosx），=（cosx-sinx，2sinx），f（x）=•．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）a，b，c分别△ABC的三内角A，B，C的对应边，且f（A）=，b=2c，a=2，求S_△ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin（2A+），由此求得最小正周期．由，求得f（x）单调区间．
（2）由f（A）= 解得sin（2A+）=-．再由A的范围可得2A+= 或2A+=，从而求出A的值，
再由余弦定理求出c的值，代入S_△ABC=bc•sinA运算求得结果．
解答：解：（1）f（x）==（cosx+sinx）（cosx-sinx）+cosx2sinx
=，
故最小正周期T==π．
令，解得 ，k∈Z．
故f（x）单调区间为[，]（k∈Z）．
（2）由f（A）=，可得 2sin（2A+）=-，sin（2A+）=-．
由于 0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+= 或2A+=．
解得 A= 或A=．
当 A= 时，由勾股定理可得 20=b²+c²=5c²，∴c=2，故S_△ABC==4．
当 A= 时，由余弦定理可得 20=b²+c²-2bc•cos=7c²，
故 S_△ABC=bc•sin==．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．