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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+a+1,函数g(x)=
11
8
x-
a2
4
-
3
2
,称方程f(x)=x的根为函数f(x)的不动点,
(1)若f(x)在区间[0,3]上有两个不动点,求实数a的取值范围;
(2)记区间D=[1,a](a>1),函数f(x)在D上的值域为集合A,函数g(x)在D上的值域为集合B,已知A⊆B,求a的取值范围.
分析:(1)由题意,有x2-(a+2)x+a+1=x在[0,3]上有2个不同根.移项得x2-(a+3)x+a+1=0,利用二次方程根的分布即可求得实数a的取值范围.
(2)根据条件可得B=[-
1
8
-
a2
4
11
8
a-
1
4
a2-
3
2
]
,下面对字母a进行分类讨论,结合函数的单调性求出集合A,再利用两个集合的关系建立关于a的不等式,即可得出a 的取值范围.
解答:解:(1)由题意,有x2-(a+2)x+a+1=x在[0,3]上有2个不同根.
移项得x2-(a+3)x+a+1=0
△=(a+3)2-4(a+1)=a2+2a+5>0
0<
a+3
2
<3
a+1≥0
9-3(a+3)+a+1=-2a+1≥0

解得:-1≤a≤
1
2

(2)易知B=[-
1
8
-
a2
4
11
8
a-
1
4
a2-
3
2
]

①当
a+2
2
≥a,即1<a≤2
时,f(x)在[1,a]上单调递减 A=[f(a),f(1)]=[-a+1,0]⊆B
-
1
8
-
a2
4
≤-a+1
11
8
a-
a2
4
-
3
2
≥0
解得:
3
2
≤a≤2


②当a>2时,f(x)在[1,
a+2
2
]
上递减,在[
a+2
2
,a]
上递增.f(a)=-a+1<0=f(1).
A=[f(
a+2
2
),f(1)]=[-
a2
4
,0]⊆B

-
1
8
-
a2
4
≤-
a2
4
11
8
a-
a2
4
-
3
2
≥0

解得2<a≤4
综上,a 的取值范围为[
3
2
,4]
点评:本题主要考查的知识点是二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及函数恒成立问题.其中根据已知中的新定义,构造满足条件的方程是解答本题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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