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19.若函数y=f(x)的定义域D中恰好存在n个值x1,x2,…,xn满足f(-xi)=f(xi)(i=1,2,…,n),则称函数y=f(x)为定义域D上的“n度局部偶函数”.已知函数g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sin(\frac{π}{2}x)-1,x<0}\\{lo{g}_{a}x(a>0,a≠1),x>0}\end{array}\right.$是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的“3度局部偶函数”,则a的取值范围是($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$).

分析 根据条件得到函数f(x)存在n个关于y轴对称的点,作出函数关于y轴对称的图象,根据对称性建立不等式关系 进行求解即可.

解答 解:由“n度局部偶函数”的定义可知,
函数存在关于y对称的点有n个,
当x<0时,函数g(x)=sin($\frac{π}{2}$x)-1,
关于y轴对称的函数为y=sin(-$\frac{π}{2}$x)-1
=-sin($\frac{π}{2}$x)-1,x>0,
作出函数g(x)和函数y=h(x)=-sin($\frac{π}{2}$x)-1,
x>0的图象如图:
若g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的“3度局部偶函数”,
则等价为函数g(x)和函数y=-sin($\frac{π}{2}$x)-1,x>0的图象有且只有3个交点,
若a>1,则两个函数只有一个交点,不满足条件;
当0<a<1时,则满足$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{g(2)>h(2)}\\{g(4)<h(4)}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{lo{g}_{a}2>-1}\\{lo{g}_{a}4<-1}\end{array}\right.$,则$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{a<\frac{1}{2}}\\{a>\frac{1}{4}}\end{array}\right.$,即$\frac{1}{4}$<a<$\frac{1}{2}$,
故答案为:($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$).

点评 本题主要考查函数图象的应用,根据条件得到函数对称点的个数,作出图象,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

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