Question

已知函数
（1）当时，试讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的 ，有.

Answer 1

（1）①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；
②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；
③时，在是增函数.
（2）见解析.

解析试题分析：（1）求导数得到，而后根据两个驻点的大小比较，分以下三种情况讨论.
①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；
②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；
③时，在是增函数.
（2）注意到时，在是增函数
当时，有.从而得到：对任意的，有
通过构造，并放缩得到
利用裂项相消法求和，证得不等式。涉及数列问题，往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.
试题解析：（1）      1分
①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；        3分
②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；      5分
③时，在是增函数.      6分
（2）由（1）知时，在是增函数
当时，.
对任意的，有
                  8分
                  10分
所以
                     12分
考点：应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式，“裂项相消法”求和.