Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，

⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；

⑵求二面角A－BF－E的大小。

Answer 1

（1）见解析

（2）二面角的大小为

解析:

①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，

∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，

∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；

在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，

DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，

∴平面BEF⊥平面DEF  ………………（6分）

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，

∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，；

在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得，

∴  ……………………………（12分）

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则

,,,,

∴，，…(2分)

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为

，则

  ①

 ②， ③, ④.

由①③③④解得,∴,…（4分）

∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）

⑵设平面ABF的法向量为，∵，

∴，，解得

∴，………（8分）∴……（10分）

由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为