Question

（1）已知x、y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）若不等式|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；
（2）根据柯西不等式证明

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

≤3

2

，利用|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，可得|a-1|≥3

2

，从而可求实数a的取值范围．

解答：（1）证明：由x³+y³-x²y-xy²=x²（x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）…（3分）
又x、y都是正实数，
∴（x-y）²≥0，x+y＞0，
∴x³+y³-x²y-xy²＞0，
∴x³+y³≥x²y+xy²；…（5分）
（2）解：由题意，根据柯西不等式有（

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

）²≤（1²+1²+1²）[（

3x+1

）²+（

3y+1

）²+（

3z+1

）²]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，
∴

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

≤3

2

…（3分）
又|a-1|≥

3x+1

+

3y+1

+

3z+1

对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，
∴|a-1|≥3

2

，
∴a≥3

2

+1或a≤1-3

2

，
∴a的取值范围是（-∞，1-3

2

]∪[1+3

2

，+∞）．…（5分）

点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．