Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+ψ）（A＞0，ω＞0，|ψ|＜

π

2

），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

• A、f（x）=2sin（

  1

  2

  x+

  π

  4

  ）
• B、f（x）=4sin（

  1

  2

  x+

  π

  4

  ）
• C、f（x）=2sin（

  1

  2

  x-

  π

  4

  ）
• D、f（x）=4sin（

  1

  2

  x-

  π

  4

  ）

Answer 1

分析：利用求导法则求出f（x）的导函数，根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，且根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及ψ的值代入即可确定出f（x）的解析式．

解答：解：对函数f（x）=Asin（ωx+ψ）求导得：f′（x）=ωAcos（ωx+ψ），
由导函数的图象可知：导函数的周期为2[

3π

2

-（-

π

2

）]=4π，
则有T=

2π

ω

=4π，解得ω=

1

2

，
由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，
∴导函数f′（x）=2cos（

1

2

x+ψ），
把（-

π

2

，2）代入得：4cos（-

π

4

+ψ）=2，且|ψ|＜

π

2

，
解得ψ=

π

4

，
则f（x）=4sin（

1

2

x+

π

4

）．
故选B

点评：此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，利用了数形结合的思想，要求学生借助图形找出有用的信息来解决问题，本题有用的信息：导函数图象的周期，导函数的最值，根据两信息分别确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．