Question

（理科）已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N*．
（1）求S_n
（2）若a_n+1＞a_n，n∈N*，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，（2分）
由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ） （4分）
因此，S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，
故 S_n=（a-3）2^n-1+3ⁿ，n∈N^﹡（6分）
（2）由（1）知S_n=（a-3）2^n-1+3ⁿ，n∈N^﹡
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）2^n-1-3^{n -1}-（a-3）2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2 （8分）
∴a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）2^n-2=2^n-2[12×+a-3]（10分）
当n≥2时，a_n+1＞a_n?12×+a-3＞0?a＞-9
当n=1时，a₂=a₁+3＞a₁，
综上所述，a的取值范围是（-9，+∞） （12分）
分析：（1）直接由a_n+1=S_n+3ⁿ得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，变形为S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）；即可求出S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，进而求出S_n；
（2）直接利用（1）中求出的S_n的表达式以及当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，先求出数列{ a_n }的通项，进而整理出a_n+1-a_n的表达式利用a_n+1＞a_n，即可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用．解决本题的关键在于由a_n+1=S_n+3ⁿ变形为S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．